数量关系 第十章 行程问题

第十章“行程问题”是数量关系中最经典、变化最多的模块，也是拉开分差的关键。 3个基础考点，4个极具杀伤力的“秒杀模型”（如等距离平均速度做猜、漂流瓶公式等）。

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[基础行程与火车过桥] (理论篇 P111-112)

• 【核心公式/模型】：
  • 基础公式：$S=V\times T$ （注意单位换算：$1\text{ m/s}=3.6\text{ km/h}$）
  • 火车过桥（从车头进到车尾出）：$S_{\text{路程}}=S_{\text{桥}}+S_{\text{车}}=V\times T$
  • 火车在桥（从车尾进到车头出）：$S_{\text{路程}}=S_{\text{桥}}-S_{\text{车}}=V\times T$
  • 匀加速/匀减速平均速度：$\bar{V}=\frac{V_{\text{初}}+V_{\text{末}}}{2}$
• 【判定特征词】：火车过桥、隧道、完全在桥上、匀加速、匀减速。
• 【秒杀技巧/口诀】：
  • 画图法：行程问题首选画图，标出已知量，找等量关系。
  • 匀变速秒杀：如果题目出现“匀加速/匀减速”，直接用初速度和末速度的算术平均值作为全程的“平均速度”，转化为匀速直线运动求解。
• 【全网/2026最新解法补充】：
  • 错车/超车模型：两列火车相遇错车，路程和 = 两车长度之和；快车超慢车，路程差 = 两车长度之和。
• 【易错反例】：火车过桥时，忘记加上“车身长度”。题目问“完全在隧道中的时间”，错用“桥长+车长”，实际应该是“桥长-车长”。
• 【实战应用提醒】：难度★，考频中等。蒙题方向：火车过桥问题，如果桥长是车长的整数倍，时间通常也是某个基础时间的倍数。

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[等距离平均速度 (含拔高做猜)] (理论篇 P113, 拔高篇 P67)

• 【核心公式/模型】：$\bar{V}=\frac{2V_1{V}_2}{V_1+V_2}$
• 【判定特征词】：往返、上下坡往返、前半段与后半段（距离相等）。
• 【秒杀技巧/口诀】：
  • 直接套公式：只要满足“两段路程相等”，直接用 $\frac{2V_1{V}_2}{V_1+V_2}$ 求平均速度。
  • 拔高做猜（极速秒杀）：如果题目出现“平路”和“上下坡往返”，且平路速度已知。全程的平均速度 = 上下坡的平均速度 = 平路速度。直接秒选平路速度！
• 【全网/2026最新解法补充】：
  • 赋值法求平均速度：如果公式记不住，直接给“相等的路程”赋一个 $V_1$ 和 $V_2$ 的最小公倍数，算出总时间，再用 $2\times 路程÷总时间$。
• 【易错反例】：把平均速度错算成 $\frac{V_1+V_2}{2}$。记住，只有“时间相等”时，平均速度才是速度的算术平均值；“距离相等”时必须用调和平均数公式！
• 【实战应用提醒】：难度★，考频高。蒙题方向：看到“上下坡往返+平路”，问平均速度，直接找题干里的“平路速度”选上去，1秒拿分。

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[相对行程：相遇与追及] (理论篇 P114-115)

• 【核心公式/模型】：
  • 直线相遇：$S_{\text{相遇}}=(V_1+V_2)\times T$
  • 直线追及：$S_{\text{追及}}=(V_1-V_2)\times T$
  • 环形相遇：相遇 $N$ 次，两人走的总路程 $S_{\text{和}}=N\times \text{一圈周长}$
  • 环形追及：追上 $N$ 次，两人走的路程差 $S_{\text{差}}=N\times \text{一圈周长}$
• 【判定特征词】：相向而行、同向而行、环形跑道、迎面相遇、追上。
• 【秒杀技巧/口诀】：
  • 环形本质：每一次相遇，两人合走一圈；每一次追上，快的人比慢的人多走一圈。
• 【全网/2026最新解法补充】：
  • 折返追及模型（狗跑/跟屁虫）：甲乙相向而行，狗在两人之间来回跑。狗跑的路程 = 狗的速度 $\times$ 甲乙相遇的时间。完全不用管狗怎么掉头。
• 【易错反例】：环形同点同向出发，问“第二次追上”，错把路程差算成1圈。第二次追上意味着快者比慢者多跑了2圈。
• 【实战应用提醒】：难度★★，考频极高。蒙题方向：如果是环形相遇，总路程必定是圈长的整数倍；如果是狗跑问题，狗的路程通常是甲乙初始距离的某个简单比例（如1.2倍、1.5倍）。

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[多次相遇模型 (含比例类比)] (理论篇 P116, 拔高篇 P67-68)

• 【核心公式/模型】：
  • 两端出发（直线）：第 $n$ 次相遇，两人共走 $(2n-1)S$。
  • 同端出发（直线）：第 $n$ 次相遇，两人共走 $2nS$。
• 【判定特征词】：往返跑、第二次相遇、第三次相遇。
• 【秒杀技巧/口诀】：
  • 单人路程比例类比：因为时间相同，两人走的总路程比 = 速度比。第一次相遇甲走 $S_1$，第 $n$ 次相遇甲走的总路程就是 $(2n-1)S_1$。
  • 每人都有事做（拔高）：甲乙分别到达对方起点后，停留办事（时间相同），然后再返回。核心思路：行走时间相同，办事时间相同，总时间也相同。直接扣除办事时间，转化为标准的多次相遇。
• 【全网/2026最新解法补充】：
  • 画线段图折叠法：把多次相遇的折返线段拉直，第一次相遇是1个全程，第二次相遇是3个全程，第三次是5个全程。甲走的路程也是 $1:3:5$ 的关系。
• 【易错反例】：把“两端出发”的第二次相遇总路程错记成 $2S$。记住，两端出发是 $1,3,5$ 个全程；同端出发才是 $2,4,6$ 个全程。
• 【实战应用提醒】：难度★★★，考频高。蒙题方向：两端出发第二次相遇，甲走的总路程是第一次相遇时甲走路程的3倍。如果第一次甲走了100米，第二次相遇甲总共走了300米。

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[流水行船与漂流瓶模型] (理论篇 P117, 拔高篇 P69)

• 【核心公式/模型】：
  • $V_{\text{顺}}=V_{\text{船}}+V_{\text{水}}$
  • $V_{\text{逆}}=V_{\text{船}}-V_{\text{水}}$
  • $V_{\text{船}}=\frac{V_{\text{顺}}+V_{\text{逆}}}{2}$
  • $V_{\text{水}}=\frac{V_{\text{顺}}-V_{\text{逆}}}{2}$
• 【判定特征词】：顺流、逆流、静水速度、水速、漂流物。
• 【秒杀技巧/口诀】：
  • 漂流瓶公式（极速秒杀）：已知顺流时间 $T_1$，逆流时间 $T_2$。漂流瓶从上游漂到下游所需时间 $T_{\text{漂流瓶}}=\frac{2T_1{T}_2}{T_2-T_1}$。
• 【全网/2026最新解法补充】：
  • 流水落物追及模型：船在行驶中掉落物品，发现后掉头去追。追回物品所需的时间 = 发现物品掉落后继续行驶的时间（与水速完全无关！）。
• 【易错反例】：求水速时，直接用顺流速度减去逆流速度，忘记除以2。
• 【实战应用提醒】：难度★★，考频中等。蒙题方向：看到求漂流瓶时间，直接套公式 $\frac{2T_1{T}_2}{T_2-T_1}$，10秒出答案。

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[比例行程] (理论篇 P117)

• 【核心公式/模型】：$S=V\times T$
• 【判定特征词】：题目中没有给出具体的速度或时间，只给出了速度变化（提速20%、减速1/3）和时间提前/延后的关系。
• 【秒杀技巧/口诀】：找相等的量，看比例，找份数。
  • $S$ 相同，$V$ 与 $T$ 成反比。
  • $V$ 相同，$S$ 与 $T$ 成正比。
  • $T$ 相同，$S$ 与 $V$ 成正比。
• 【全网/2026最新解法补充】：
  • 提速/减速份数法：例如“速度提高25%”，即速度比为 $4:5$，则时间比为 $5:4$。时间差了1份，对应题目中“提前了10分钟”，所以原时间是5份=50分钟。
• 【易错反例】：速度提高 $\frac{1}{3}$，速度比写成 $1:3$。正确应该是 $3:4$。
• 【实战应用提醒】：难度★★，考频高。蒙题方向：如果速度提高了 $\frac{1}{n}$，时间就会减少 $\frac{1}{n+1}$。直接用这个比例关系口算，无需列方程。